📐선형대수학/선형대수학

선형대수학(1)(쌩기초)

하얀성 2023. 2. 16. 15:08

만화로 쉽게 배우는 선형대수 (다카하시 신)

기초지식

선형대수란 각 다른 차원 간을 연결해주는 학문.

 

선형공간?

벡터공간?

 

복소수 : a+bi 형태

i^2 = -1

 

복소수는

정수와 실수와 무리수 그리고 순허수로 구성되어 있다. 

 

필요충분조건

 

p => q  

p는 q를 위한 필요조건. q는 p이기 위한 충분 조건이다.

 

동시에 p <=> q 가 된다면 필요충분조건이라고 얘기한다.

집합

(1)사상

 

f(x) = 2x-1 이란 식이 있을 때

 

x는 집합 X의 원소 이며, 2x-1은 집합 Y의 원소이다.

x가 어떤 이유, 식을 통해서 Y집합의 2x-1 요소와 연결 될 수 있도록 하는 이유.

 

그 이유를 '사상'이라 하며. f()기호를 통해 나타낸다.

 

로 나타낸다.

(2)상

 

X집합의 원소 x와 사상 f()을 통해 생긴 요소 값.

 f(x)로 표기한다.

 

윗 예제를 예시로 들면 보면 2x-1이 x의 상이라 할 수 있다.

(3)치역

사상에 의한 상으로 이루어진 집합.

치역은 보통 Y집합의 부분집합이거나, 같은 집합이다.

 

(4) 정의역

사상에 대입한 x원소들의 집합

 

(4-1) 전사, 단사, 전단사

 

전사(위로의 사상) : 사상f의 치역과 집합 Y가 같은 경우, 사상f를 전사라 함. 

단사(1대1 사상) :  1대1로 x원소 한개에 y요소 한개만 대입되는 경우. 사상f를 단사라 함.

전단사: 전사이면서, 단사인 사상f를 전단사라 함.

 

 

(4-2) 역사상

역사상 : Y집합 요소들을 기준으로 하는 다른 사상 g가, X집합의 f사상과 같을 경우 사상g는 사상f의 역사상이라 함.

 

g(f(xi))와 xi가 같다.

f(g(yi))와 yi가 같다.

위의 두 조건을 만족 시키는 경우를 의미함.

 

(조건 부가설명)

Ex) y원소가 g 사상 따라서 x원소로 갔다가 x원소에서 f사상을 따라 다시 y원소로 갔더니 제자리로 돌아온 경우

 

 

 

-역사상과 전단사의 관계-

사상f에 대응하는 역사상이 존재한다 <=> 사상f는 전단사이다.

 

선형사상

 

xi와 xj는 X의 임의의 원소라고 하고,  c는 임의의 실수라고 한다. f는 'X에서 Y로의 사상'이라고 한다.

사상 f가 아래 2개 조건을 만족할 경우 '사상 f는 X로부터 Y로의 선형사상'이라고 한다.

 

①f(xi)+f(xj)와 f(xi + xj)가 같다.

②c f(xi)와 f(cxi)가 같다.

조합과 순열

 

(1) 조합

n개 중에서 r개를 선택하는 패턴의 개수를 '조합의 개수'라한다.

조합은 조합되는 순서를 고려하지 않는다.

 

 nCr = n!/r! * (n-r)!

 

7C3 = 35

7 6 5 4 3 2 1/  3 2 1 * 4 3 2 1

(2)순열

n개 중에서 r개를 선택하고, 선택한 r개를 나열하는 패턴의 개수를 '순열의 개수'라고 한다.

nPr = n!/(n-r)!

 

7P3 = 210

 

7!/ (7-3)!

7 6 5 4 3 2 1/ 4 3 2 1!